Matematika Logika

Definisi Aljabar Boolean

merupakan aljabar yang terdiri atas :

nsuatu himpunan B

ndua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu :

–Penambahan (+)

–Perkalian (.)

Sehingga untuk setiap a,b,c Î B berlaku

aksioma-aksioma atau postulat berikut :

Postulat Huntington :

Closure :

a + b Î B

a . b Î B

Identitas :

Ada elemen unik 0 Î B, sehingga berlaku :

  a + 0 = 0 + a = a

Ada elemen unik 1 Î B, sehingga berlaku :

  a . 1 = 1 . a = a

Komutatif :

a + b = b + a

a . b = b . a

Distributif :

a . ( b + c) = (a . b) + (a . c)

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

(a . b) + c = (a + c) . (b + c)

Komplemen :

   Untuk setiap a Î B, ada elemen unik a’ Î B, sehingga berlaku :

  a + a’ = 1    dan    a . a’ = 0

Terdapat paling sedikit dua buah elemen , a dan b Î B sedemikian sehingga a ≠ b.

Turunan Postulat Huntington

Aksioma 1 sampai 6 diformulasikan secara formal oleh E. V. Huntington pada tahun 

1904, sehingga dinamakan Postulat Huntington, sedangkan aksioma berikut :

Idempoten :

a . a = a

a + a = a

Asosiatif :

a + (b + c) = (a + b) + c

a . (b . c) = (a . b) . c

diturunkan dari aksioma yang lain.

Perbedaan aljabar boolean dengan aljabar biasa

nAksioma distributif  a + (b . c) = (a + b) . (a + c) benar untuk aljabar  boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa,

nAljabar boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan penjumlahan, oleh karena itu tidak ada opersi pembagian dan pengurangan,

nAksioma ke-5 mendefinisikan operator komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa,

nAljabar biasa memperlakukan bilangan real dengan himpunan elemen yang tidak berhingga, aljabar boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan.

To Be Continue...

By : Awaludin Jamil

Mata Kuliah Matematika Logika